排列组合cn和an公式举例有哪些
排列组合是我们在生活和科学研究中经常会使用的数学方法,尤其在统计学、信息学、密码学等方面有广泛的应用。在理论基础上,我们会遇到两种基本的算法,即排列和组合,在这之中又涉及到两种常见的数学公式——C(n, m)和A(n, m)。
C(n, m),也被称作组合数或选择数,是从n个不同的项目中选择m个的方式的数量。在数学上,它的公式可以写作:
C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)
其中“!”表示阶乘,即1*2*3...*n。
例如,我们要从10本不同的书中选择3本读。那么选择的方式有C(10, 3)种,利用组合数公式,我们得到的结果就是:
C(10, 3) = 10!/(3!(10-3)!) = 10 * 9 * 8/(3 * 2 * 1) = 120种。
再来看A(n, m),也即排列数,是从n个不同的项目中选择m个进行排列的方式的数量。其公式可以写作:
A(n, m) = n!/(n-m)!
例如,我们要对5本书进行排列,我们可以有那么A(5, 3)种方式,据此,我们可以得出结果:
A(5, 3) = 5!/(5-3)! = 5 * 4 *3 = 60种。
结合组合和排列公式,我们可以发现,排列考虑了元素的顺序,而组合则没有。因此,对于同样的n和m,排列的结果总是大于或等于组合的结果。
以上就是排列组合公式C(n, m)和A(n, m)的基本内容和示例。理解这两个公式对于我们解决一些实际问题将大有裨益,尤其是涉及到选择、排序和组织的问题。
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
排列组合是高中数学教学内容中的重要组成部分,在高考试卷中排列组合的占分比越来越高,且出现的形式多种多样。下面我给你分享高中数学排列组合公式大全,欢迎阅读。
高中数学排列组合公式大全
1.排列及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)??(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
2.组合及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3.其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n为下标,m为上标))
Pnm=n?(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n
组合(Cnm(n为下标,m为上标))
Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m
高中数学排列组合公式记忆口诀
加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。
两个公式两性质,两种思想和 方法 。归纳出排列组合,应用问题须转化。
排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。
不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。
关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。
高中数学排列组合重点知识
1.计数原理知识点
①乘法原理:N=n1?n2?n3??nM (分步) ②加法原理:N=n1+n2+n3+?+nM (分类)
2. 排列(有序)与组合(无序)
Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)??(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!
Cnm = n!/(n-m)!m!
Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k!
3.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排
排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)
插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时,应注意:
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件,避免?选取?时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是:
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
4.二项式定理知识点:
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+?+ Cnran-rbr+??+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn
特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+?+Cnrxr+?+Cnnxn
②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m
最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+?+Cnr+?+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+?=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+?=2n -1
③通项为第r+1项: Tr+1= Cnran-rbr 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
5.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
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排列组合计算公示:C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)
排列组合基本介绍:
? ? ? ?排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。
排列的定义:
从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个不同的元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 A(n,m)表示。
排列组合的定义:
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。
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